ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ


Управление системой предполагает принятие обоснованных решений о том или ином выборе или изменений входных параметров (технологических факторов применительно к производству сборного железобетона). Выбор правильного решения из большого числа вариантов значительно облегчается при формализации процесса принятия решения и применении количественного описания альтернатив. При этом быстрый анализ системы в необходимом случае обеспечивает использование ЭВМ, в программу которой заложена математическая модель поведения системы.

Модель — особая форма абстрагирования, т. е. отвлечения тех или иных элементов и связей от множества реально существующих в системе. Вне зависимости от привлекаемых к решению задачи методов анализа (физики, химии, кибернетики и т д.) возникает необходимость построения некоторых абстракций. В зависимости от того, какие стороны объекта представлены в модели, различают модели: 1) субстанционные; 2) структурные;
3) функциональные.

СУБСТАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ

Материал субстанционных моделей (вещество, субстанция) по некоторым свойствам совпадает с материалом оригинала. Например, контрольный образец — куб бетона, изготовленный параллельно с конструкцией,— является субстанционной моделью ее материала, так как бетон в образце по своим основным свойствам совпадает с бетоном конструкции.

СТРУКТУРНАЯ МОДЕЛЬ

Под структурной моделью понимают модель, имитирующую внутреннюю структуру оригинала (способ организации элементов объекта). При этом может моделироваться как структура процесса, например технологическая система производства бетона, как и статистическая структура, например способы укладки зерен наполнителя различных фракций в массе бетона.

ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ. МЕТОД «ЧЕРНОГО ЯЩИКА»

Функциональные модели имитируют способ поведения (функцию) оригинала. Функциональный подход, роль которого в современной науке резко возросла, характеризуется как бы двойной абстракцией—абстрагированием сначала от вещественного субстрата системы с вычислением ее внутренней структуры и последующим абстрагированием от последней с выделением функциональных связей системы со средой. Обобщенным абстрактным образом функциональной модели является метод «черного ящика», получивший в кибернетике широкое распространение и теоретическую разработку Понятие «черный ящик» описывает такую систему, внутренняя структура которой неизвестна и недоступна для наблюдения, а известны лишь параметры «входа» xt (факторы) и «выхода». В этом случае задача управления сводится к подбору таких уровней х, которые обеспечили бы определенные значения у, в частности оптимальные. Исследуя значения х и соответствующие им значения у, можно найти статистическую закономерность, описывающую эту связь.

ЗАДАЧИ ТЕХНОЛОГИИ БЕТОНА ЖЕЛЕЗОБЕТОНА

Такой подход к задачам технологии бетона и железобетона позволяет абстрагироваться от некоторых сложных и пока мало изученных физико-химических явлений, происходящих в бетонах в процессе их получения и эксплуатации. Однако это не отрицает необходимости дальнейших исследований причин и явлений в структуре системы, так как чем полнее наши представления о процессе или явлении, тем точнее и достовернее математические модели, их отражающие. Метод «черного ящика»,основанный на использовании эмпирических способов при системном кибернетическом подходе, позволяет найти и использовать в управлении технологией статистические закономерности.

В результате количественного исследования функциональной модели «черного ящика» удается получить совокупность соотношений, которые выражают в виде математических зависимостей (графиков, уравнений, неравенств, логических условий, графов и т. д.) реальные физические характеристики систем. Эта совокупность соотношений вместе с условиями, ограничивающими пределы изменения физических характеристик, позволяет построить математическую модель. Другими словами, математической моделью называется описание системы на формальном языке, позволяющее выводить суждение о некоторых чертах поведения этой системы с помощью формальных процедур над ее описанием.

В зависимости от использованных систем получают модели, обобщающие с известной точностью определенный процесс или явления, как, например, обобщенные модели прочности бетона (типа формулы с усредненными коэффициентами, полученными по результатам испытаний бетона на разны материалах либо частные модели, описывающие данный процесс или явление в конкретных условиях, например модель прочности бетона (график или формула) для определенных видов материалов, используемых на данном объекте строительств.

Наибольшую сложность при построении любой математической модели представляет решение вопроса о выборе формы связи между переменными. Однако ряд трудностей моделирования можно исключить, если принять ограничение: модель должна как можно точнее описывать поведение системы в конкретной ситуации.

Тогда можно исходить из принципа максимальной начальной простоты модели поведения, а не искать в каждой задаче специальных математических форм связи между факторами Xi (число факторов к) и откликом у. Если самая простая модель окажется недостаточно точной, ю ее можно усложнить Воспользовавшись тем, что любую непрерывную функцию можно разложить в ряд Тейлора, который преобразуется в степенной ряд, начальную модель поведения системы удобно представить в виде полинома т-й степени. Коэффициенты модели определяют методом наименьших квадратов.

Для определения зависимости у необходимо иметь хотя бы два различных значения х. При к факторной полиноминальной модели требуется не менее (£+2) (/г-f 1)/2 различных наблюдений. Использование локально-интегральною (полиномиального) моделирования— это один из частных, хотя и очень распространенны:, методов построения модели технологической ситуации технологии сборного железобетона можно использовать раз личные математические методы, которые условно можно разделить на три группы- группа А — вероятностно-статистические методы, включающие использование общей теории вероятности, описательной статистики, выборочного метода и проверку статистических гипотез, дисперсного и регрессионного анализа, математической теории экспериментов и др ; группа Б — методы исследования операций, включающие линейное, нелинейное и динамическое программирование: теорию игр, теорию массового обслуживания, теорию графов и сетей и т. д ; группа В — методы математического анализа, включающие дифференциальное, интегральное и векторное исчисление, дифференциальные уравнения, в том числе уравнения математической физики, используемые для составления и расчета математических моделей на основе определенных предпосылок о физико-химии исследуемых процессов.

Такое выделение групп условно, поскольку построенные статистическими методами математические модели могут изучаться в дальнейшем с помощью, например, линейного программирования.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Математическое моделирование должно проводиться только на основе информации о конкретной технологической ситуации. Для детерминированных моделей необходимо, как правило, представление об их физико-химической природе и зависимостях, управляющих наблюдаемым процессом. При построении статистических моделей можно ограничиться сведениями о том, как изменение технологических факторов х влияет на конечное качество у. Эти сведения можно получить только наблюдением за выбранной системой, причем понятие «наблюдение» здесь следует трактовать широко — как собственно наблюдение и как эксперимент.

При собственном наблюдении исследователь лишь пассивный свидетель происходящих явлений, а сам процесс наблюдений никак не влияет на развитие этих явлений Модель, построенная на основе такого наблюдения, будет справедлива только для наблюдавшегося диапазона изменения факторов, а условия оптимальности могут иметь частный характер и могут не совпадать с положением главного оптимума.

Более высокую ступень познания системы обеспечивает эксперимент, при котором исследуемые процессы воссоздаются в необходимых условиях. Эксперимент позволяет построить более совершенные модели, чем модели, полученные в результате только наблюдения. Рассмотрим модель, которую часто используют для решения технологических задач. Для простоты изложения примем лишь три параметра входа — хь JC2, х3 и один параметр выхода—у, хотя все далее сказанное об этой модели легко обобщается на /е-мерную модель. Система является стохастической, поскольку на нее кроме контролируемых и регулируемых факторов х действуют случайные факторы, для которых заранее не известны ни количественные, ни качественные оценки. Для изучения этой технологической системы могут быть выбраны два пути сбора информации: наблюдение и эксперимент. Наблюдение обычно ведется в производственных условиях, когда нельзя менять в любых пределах значение х из-за риска расстроить нормальный технологический процесс и допустить брак в продукции. Через определенные промежутки времени (реже непрерывно) фиксируют значение входа х, и выхода у. При наблюдении за системой уровни входных факторов хг оказываются расположенными бессистемно, хаотически, так как наблюдатель не регулирует их по своему усмотрению.



Источник: литература «Технология бетона» Ю.М. Баженов










Навигация по разделам